12-02-2008, 01:41 PM
arkadaşlar ben aslında basit bir konu aldım ama bir türlü nasıl olacağını analayamadım.ben lise 2 öğrencisiyim ve matematiğin diğer bilim dallarıyla olan ilişkilerini arıyorum.bana yardımcı olursanız sevinirim:
12-02-2008, 03:52 PM
Matematik Tarihi - Matematiğin Öteki Bilimlerle İlişkisi
Matematiköteki müsbet bilimlerin gelişmesini sağlar. Matematiğin öteki bilimlerle olanbaşka bir ilginç özelliği de; öteki bilimlerin de matematiğin bugünkü ileriseviyeye gelmesinde katkısı olmuştur. Örneğin: 17. yüzyıl başlarında,gökcisimleri yörünge hesapları sırasında, mevcut matematik bilgiler,astronomlar için yeterli olmamıştır. Netice itibariyle de, astronomlarınzorlamaları sonucu, matematikçiler tarafından, diferansiyel denklem kavramlarıortaya konmuştur.
Fenbilimlerinden olan; fizik, kimya ve astronominin varlığı düşünüldüğünde, bubilimlerde temel özellik, gözlem ve deneye dayalı, aynı zamanda da ölçülebilirolmasıdır. Halbuki matematik, soyut bir bilim olmakta ve temel konusu dasayılar ve çevremizde gördüğümüz şekillerdir. Matematiğin öteki bilimlerdenfarklarını ise, şu şekilde sıralamak mümkündür: Sembol ve şekiller kullanılır,uygulama alanı geniş, soyut ve kesin sonuç esasına dayanır, kesin kanunlarıvardır, kendisini devamlı yeniler, öteki bilimlerde yapılan çalışmalarıkanuniyet halinde ifade edilebilir duruma getirir, var olanı inceler, kesinsonuç verir, birbirine bağımlı olarak sürekli gelişme gösterir ve gelişmeleribirbirini tamamlar...
O geneldi AYRI AYRI İSTERİM BEN DERSEN....
MATEMAİK VE MÜZİK İLİŞKİSİ
T.Pappas’ın “Yaşayan Matematik” isimli kitabının önsözünde şunlar yazılıdır: “Matematikten duyulan zevk bir şeyi ilk kez keşfetme deneyimine benzer. Çocuksu bir hayranlık ve şaşkınlık insanı sarar. Bu deneyimi bir kez yaşadıktan sonra, bu duyguyu unutamazsınız. Bu duygu, ilk kez mikroskoba bakıp da daha önce çevrenizde her zaman var olan ama, göremediğiniz şeyleri gördüğünüz anki kadar heyecan vericidir.”
Gerçekten de matematiğin estetik çekiciliğine tamamen duyarsız, aydın bir insan bulmak biraz zordur. Matematiksel güzelliği tanımlamak çok güç olabilir fakat bu güçlük her tür güzellik konusunda geçerlidir.
Sadece düşüncede var olan olayların nerelerde uygulama alanı bulabileceği hiçbir zaman önceden tahmin edilemez. Bu nedenledir ki matematikçiler, yapılan çalışmaları estetik yönden değerlendirmekte, eserlerde bir sanatçı titizliği ile güzellik ve zarafet aramaktadırlar. İşte bunun için matematik – müzik ilişkisini bir magazin popülaritesi içinde sunmaya çalışacağız.
Orta çağda eğitim programlarında müzik, matematik ve astronomi ile aynı grupta yer alırdı. Matematik ve müzik ilişkisi, günümüzde bilgisayarlar aracılığı ile devam etmektedir.
Matematiğin müzik üzerindeki etkisini müzik parçalarının yazımında görebiliriz. Bir müzik parçasında ritim ( 4:4 lük , 3:4 lük gibi ), belirli bir ölçüye göre vuruş birlik, ikilik, dörtlük, sekizlik, onaltılık, … gibi notalar bulunur. Belirli bir ritimde, değişik uzunluktaki notalar, belirli bir ölçüye uydurulur. Her ölçünün ise değişik uzunluktaki notaları kullanan belirli sayıda vuruştan oluştuğu görülür.
Pisagor ( M.Ö. 580- 500 ) ve onun düşüncesini taşıyanlar sesin, çekilen telin uzunluğuna bağlı olduğunu fark ederek, müzikte armoni ile tamsayılar arasındaki ilişkiyi kurmuşlardır. Uzunlukları tamsayı oranlarında olan gergin tellerin de armonik sesler verdiği görülmüştür. Gerçektende çekilen tellerin her armonik bileşimi tamsayıların oranı olarak gösterilebilir. Örneğin, do sesini çıkaran bir telin uzunluğunun 16/15’i si sesini verirken 6/5’i ise la sesi; 4/3’ü sol sesini; 3/2’si fa sesini; 8/5’i mi sesini; 16/9’u ise re sesini verir.
Görüldüğü gibi iki notayı bir arada duymak, iki frekansı ya da iki sayıyı ve bu iki sayı arasındaki oranı algılamaktan başka bir şey değildir. Demek ki armoni sorunu, iki sayının oranını seçme sorununa eşdeğerdir. Müzik, gizli bir aritmetik alıştırmasıdır diyen Leibniz’in haklılığı ortaya çıkıyor.
Müziği, belli kurallara uygun olarak oluşturulmuş basit birtakım seslerin birbirlerini izlemesinden oluşan cümleler topluluğu olarak tanımlayabiliriz. Bu kurallar, matematikte mantık kurallarına karşılık gelirler.
Bir çok müzik aletinin biçiminin matematiksel kavramlarla ilgili olduğunu belirtirsek şaşırmazsınız herhalde. Örneğin, aşağıdaki şekilde x >= 0 için y = 2x eğrisinin grafiği çizilmiş olup telli ya da üflemeli çalgıların biçimleri bu üstel eğrinin biçimine benzer.
Müzikal seslerin niteliğinin incelenmesi 19. yüzyılda matematikçi J.Fourier tarafından yapılmıştır. Fourier, müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini ve bunun da periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır.
Bir çok müzik aleti yapımcısı, yaptığı aletlerin periyodik ses grafiğini, bu aletler için ideal olan grafikle karşılaştırır. Yine elektronik müzik kayıtları da periyodik grafiklerle yakından ilişkilidir. Görüldüğü gibi bir müzik parçasının üretilmesinde matematikçilerle müzikçilerin birlikteliği çok önemlidir.
Matematik – müzik ilişkisinin bir başka özelliğini ortaya çıkarabilmek için matematikte ve mimaride çok sık kullanılan bir orandan söz etmek istiyorum.
Uzunluğu L olan bir [AB] doğru parçasını ele alalım ve bunun uzunlukları a ve b olan iki parçaya ayıralım. Eğer a / b = L / a yani, a / b = (a + b) / b eşitliği gerçekleniyorsa, bu bölmeye [AB] doğru parçasının altın bölümü adı verilir. a / b oranına da ALTIN ORAN denir. Şimdi x = a / b dersek, ilgili denklem x2 - x – 1 = 0 şekline getirilebilir. Bu denklemin pozitif kökü (1 + 5) / 2 = 1.618’dir.
Şimdi yeniden müziğe dönelim. İnsan kulağı için en uyumlu aralığın 8/5 frekans oranındaki major 6’lı olduğu bilinmektedir. Bu oranın yukarıda bulduğumuz altın orana çok yakın bir oran olduğunu görüyoruz.
Bana göre müziğin matematikten farklı tarafı, bazı göz kamaştırıcı tuzaklar kullanarak, insanları büyüleyebilmesidir. Halbuki matematik bunu yapmaz. Russell bunu şöyle özetliyor: “İyi bakıldığı zaman matematik sadece doğruyu değil yüksek bir güzelliği de içerir. Matematik bu güzelliklere bürünmek için insan doğasındaki zayıflıklara başvurmaz; resim ve müziğin göz kamaştırıcı tuzaklarını da kullanmaz.”
Matematiğin müziğe kıyasla önemli tarafı şudur: Müzikal bir parçanın içerdiği estetik unsurun müzik eğitimi almayan kimseler tarafından anlaşılabilmesine karşılık, bir matematiksel teoride dinleyici veya okuyucunun tüm mantık zincirlerini izlemesi zorunluluğu vardır. Hatta içerdiği estetik unsuru da sezebilmesi gerekir.
Şüphesiz matematiğin de müzik gibi kompozitörleri ve virtüözleri vardır diyor hocamız Cahit Arf. Kompozitörler, teorileri kuranlar; virtüözler de teorileri gerçek manada anlayarak ifade edebilenler ve hissettirebilenlerdir.
Yazımızı, ünlü ressam Leonardo Da Vinci’nin şu sözleri ile noktalamak istiyorum: “Matematiksel açıklamalar ve yöntemler kullanılmadan yapılan hiçbir araştırmaya bilimsel denemez.”
kaynak:PROF. DR. CİHAN ORHAN
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ ÖĞRETİM ÜYESİ
MATEMATİK-FELSEFE İLİŞKİSİ
Birçok filozof, matematiğin mutlak doğru olduğuna inanmaktadır. Öyle ki, Hempel meşhur “Matematiksel Doğruluğun Doğası Üzerine” adlı makalesinde, matematiğin önermelerinin “tanımı itibariyle doğru” olduğunu belirtmiş, matematik önermelerinin, “Bütün bekarlar evli değildir” ifadesindeki gibi kesinlik değerine sahip olduğunu belirterek, matematiğin mutlak geçerliliğini iddia etmiştir.
Bu bağlamda, gözlem ve deneye dayanmadan, sadece akıl ile mutlak bilgi sunduğu iddia edilen matematik, felsefi bir soruşturma için biçilmiş bir kaftandır artık: Matematik nedir? Matematiksel bilginin temeli nedir? Matematiksel doğru, mutlak doğru mudur? Niçin, Matematiksel hakikatın doğası nedir? Matematiksel önermeler, bizden bağımsız olarak mı doğrudur? Matematiksel ispatlar zamanla değişmezler mi? Matematikte doğa bilimlerindeki gibi devrimler var mı? Matematiksel doğrular niçin zorunludur? Matematik eğer kainatın dili ise, niçin bu böyledir? Matematik nasıl oluyor da ‘gerçek’ dünyada işe yarıyor? Bu sorular hulâsaten ‘matematik felsefesi nedir?’ sorusunu sormaktadır.
Matematik felsefesinin ne olduğu, matematik ve felsefe arasındaki ilişki, filozofların bilgi sistemlerinde matematiğin ayrıcalıklı konumunun kökenleri, matematiğin ne olduğu ve matematikçilerin çoğunun inandığı bir matematik felsefesi olarak Platonculuk bu bölümde incelenecektir.
Günümüzün önemli matematik filozoflarından biri olan Maddy, “Matematik filozofunun görevinin, matematiği reform etme değil, onu tanımlama ve açıklama olduğunu kabul ediyorum” demektedir.
Matematik felsefesi de matematik teoremlerinin sayısını doğrudan artırmaz. Körner için matematik felsefesi matematik demek değildir; matematik üzerine yansımalardır.
Matematiğin veya matematik felsefesinin neliği üzerine konuşurken, felsefedeki kural koyucu betimleyici ayrımını akılda tut-makta fayda vardır. İleride geniş olarak ele alacağımız mantıkçılık, biçimcilik ve sezgicilik türü matematik felsefesi okulları, matematiğin doğası için matematiğin kural koyucu bir tanımını vermeye çalışmaktadır. Sözgelimi, sezgiciler, ‘olmayana ergi’ ispat yöntemini matematikten dışlarlar.
Körner bu anlayışın matematik felsefesi açısından yanlış bir yaklaşım olduğunu vurgular. Ona göre, felsefenin rehberliğinde olmayan matematik tarihi körleşmiş, matematik tarihine sırtını dönen matematik felsefesi ise koflaşmıştır.
1- Matematiksel bilginin gerekçelendirilmesi, 2- Matematiksel nesnelerin karakteri ve ontolojik konumu, 3- Matematiksel Platonculuğun bu kadar makul ve başarılı bir bakış olmasının nedenlerinin açıklanması, 4- Matematikçinin pratiği ile matematiğin kendi karakterinin ilişkisi, 5- Öznel matematiksel bilgi ile kabul görmüş matematiksel bilginin ilişkisi, 6- Kişinin mevcut matematiği nasıl öğrendiği, 7- Kişinin matematiksel bilgiyi yeni bir bilgiye nasıl dönüştürdüğü, 8- Matematiksel bilginin gelişimi, 9- Dil ve matematik ile kil tabletlerden bilgisayara kadar bilgi teknolojilerinin birbiriyle ilişkisi, 10-Tarihin, matematik felsefesini nasıl aydınlattığı, 11- Matematik ile diğer bilgi alanları, değerler, kültür ve tecrübe ilişkisi, 12- Pür matematiğin bilim ve ‘gerçek’ hayatta uygulamalarının çok kullanışlı ve güçlü olmasının açıklanması, 13- Matematiksel teorilerin nasıl değerlendirildiği veya takdir topladığı, değerlendirme sürecinde herhangi bir kriterler topluluğunun olup olmadığı.
Özetlersek, matematik felsefesindeki sorunlar iki ana başlık altında toplanabilir. Birincisi, klâsik olarak adlandırabileceğimiz matematiksel epistemoloji ve ontoloji İle ilgili daha temel sorunlar. İkincisi, birincisine nazaran oldukça daha ‘genç’ sayılan, matematik ve insan etkileşimini konu edinen sorunlar ki, bu sorunlar doğal olarak sadece matematikle veya felsefeyle ilgili değil; tarih, psikoloji, sosyoloji, eğitim gibi bir beşeri bilimleri de ilgilendirir. Şimdilik, matematik felsefesi açısından böyle geniş yelpazeli bir kavramsallaştırma çabası genel kabul görmemiştir.
Bütün büyük filozofla matematik hakkında konuşmuştur.Akademik uzmanlaşmanın yaygınlaşmasından önce; Rene Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz, Blaise Pascal, Bernard Balzano, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, David Hilbert, Henri Poincare, Gottlob Frege, Alonzo Church, Kurt Gödel, Alfred Renyi ve Alfred Tarski gibi hem matematikçi hem de filozof olarak çalışmalarını sürdürmüşlerdir. Öyle ki, Platon, Descartes, Leibniz, Kant, Frege, Russell, Wirtgenstein, Quine, Putnam gibi filozofların düşünce sistemlerinde matematik çok önemli bir yer işgal etmiştir. Aslında bu ilgi, Brown’ın da belirttiği gibi, sadece analitik felsefe denen akımla sınırlı değildir. Husserl ve Lonergin’in çalışmaları ile Kıta Avrupa’sı ve Thomistik felsefede bu ilgi zannedildiğinden de büyüktür. Öyle ki, ciddi bir felsefi merakı olan herkesin, matematiğin doğasına yönelik bir ilgisi olması da beklenir.
Aşırı uzmanlaşmanın matematik ve felsefe arasındaki tarih boyunca süregelen bu etkileşimi sarstığı söylenebilir. Zira, bugün, aynı matematik bölümünün çatısı altında çalışan bir analizci, cebirciyi anlamakta zorluk çekmektedir. Benzeri bir durum felsefe bölümleri için de geçerlidir; sözgelimi, etik üzerine çalışan biri, bilim veya matematik felsefesi üzerine çalışan birini anlamakta zorlanmaktadır.
Matematik felsefesi, felsefenin diğer dalları veya matematiğin diğer alanları dikkate alındığında çok fazla gelişmemiştir. Burada, matematiğin, matematikçi gözünde mükemmel bir sistem olması ve gerçek dünyada ciddi bir sorunla karşılaşmadan kullanılması, ayrıca, genel olarak bir matematikçinin matematik yaparken aldığı zevkin etkili olduğu söylenebilir. Sözgelimi, Fransız matematikçisi Henri Lebesgue’ya göre, matematikçi olan birinin felsefe ile zihnini meşgul etmesine gerek yoktur.
Şimdi, bir filozof matematiğin neden çekici olduğu sorusu akla gelebilir. Shapiro, bu konuda üç önemli noktaya dikkat çeker. Birincisi, her iki disiplin de dünyayı anlamlandırma çabasının bir ürünü olarak Antik Yunan’da doğmuş veya gelişme açısından önemli mesafeler kaydetmişlerdir. İkinci sebep, birçok karmaşık felsefi sorunun matematiğe yönelindiği zaman netliğe kavuşmasıdır. Örneğin bir dil filozofu için ‘Bu terim neyi göstermektedir, bir nesneyi mi? gibi sorular için matematik dili iyi bir malzeme sağlamaktadır. Tymoczko da benzeri bir noktaya vurgu yaparak, matematik felsefesinin geleneksel olarak, felsefe kuramları için bir test imkânı sunduğunu belirtir. Üçüncü sebep epistemoloji ile ilgilidir. Matematik, bilimde hayati bir öneme sahiptir. Dünyayı anlama çabasında matematiğin temel bir görev üstlendiği açıktır. Fiziksel dünyanın anlaşılması için matematik merkezi bir konumdadır. Bir filozof için ‘Kainatın dili niçin matematikle yazılmıştır?’ türü sorular önemli olmalıdır.
Bu açıklamalardan sonra akla gelebilecek bir soru şudur: Peki, matematik nedir? Atom bombasının mimarlarından olan meşhur fizikçi Oppenheimer, bir defasında, günümüzde filozofların matematik bilmediklerini, hatta bir adım daha ileri giderek, matematikçilerin de matematik bilmediklerini söylemiştir. Oppenhemir’ın ifadesinde, matematikçilerin teknik olarak bilgilerinin eksik olduğunu mu yoksa matematikçilerin gerçekte uğraştıkları işin özüne vakıf olmadıklarını mı kastettiği açık değildir. Burada teknik yöne vurgu yapması ihtimali düşüktür: çünkü 20. yüzyıl matematiği, matematiğin atılım çağı olmuş ve kimilerince ‘altın çağ’ olarak nitelendirilmiştir. Bu yüzden Opppnheimer’in kastettiği şeyin matematiğin doğası ve mahiyetine ilişkin olduğu söylenebilir. Aslında, matematiğin ne olduğu sorusu matematik felsefesinde çetin bir sorundur. Gerçekten de, Lasserre’nin dediği gibi:
“Bir fizikçiye ‘Fizik nedir?’ veya bir tarihçiye, ‘Tarih nedir?’ diye sorduğunuzda, yanıt vermekte hiç zorlanmaz.
Çünkü gerçekten de ikisi de, ne aradığını bilmeksizin ken-kendi işini yapamaz. Ancak, bir matematikçiye, “Matematik nedir?” diye sorduğunuzda, haklı olarak yanıtı bilmediğini söyleyebilir ve bu onu matematikçi olmaktan alıkoymaz.”
Matematik nedir? Oxford sözlüğüne bakılırsa matematik, sayı, miktar ve uzay bilimidir. The American Heritage sözlüğüne bakılırsa matematik, miktar ve kümelerin arasındaki ilişkileri sayı ve sembol kullanarak araştırır. Bu tanımlarda, sayı ve miktarla ilgili kısım aritmetik, uzay ile ilgili kısım ise, geometri olarak adlandırılır. TDK Türkçe Sözlüğü’ne bakılırsa, matematik için şu karşılık bulunur: “Aritmetik, cebir, geometri gibi sayı ve ölçü temeline dayanarak niceliklerin özelliklerini inceleyen bilimlerin ortak adı, riyaziye.” Modern matematiğin birçok branşını dışarıda tutan sıraladığımız bu tanımlamalar, başlangıç için işimize yarayabilir.
Geometri ise, şekiller ve uzay ölçümleri ile ilgilenir. Geometrinin, Öklit’ten beri bilinen ayırıcı vasfı, çıkarım (tümdengelim) yoluyla ispat yapmamıza olanak sağlamasıdır.
C.S. Peirce, “Matematik, gerekli sonuçları çıkarma bilimidir” demiştir. Önceki nahif sözlük tanımlarındaki gibi, bu tanımda da birçok eksiklik vardır. Peirce’ın bu tanımından, “Ne hakkında çıkarım?” sorusu cevapsız kalmakta, matematiğin bizatihi konusu açıklanmamaktadır. Bu tanımlara değinen Davis ve Hersh, farklılıklardan yola çıkarak, her neslin farklı bir matematik tanımı geliştirdiği ve bu tanımın zamanla doğal olarak değiştiğine dikkat çekmişlerdir.
Şimdiye kadar verilen açıklamalardan ‘matematik nedir?’ sorusunun net bir cevabının verilemediği anlaşılmış olsa gerek. Zira, Bertrand Russell bir keresinde, “Matematik, ne neden söz ettiğimizi ne de söylediğimiz şeyin doğru olup olmadığını bilmediğimiz bir konudur” demiştir. lakatos da matematikten “bazen net, bazen bulanık şey” diye bahsetmiştir.
‘Matematik nedir?’ sorusunun bir cevabı olarak da okunabilecek olan ve neredeyse bütün matema-tikçiler tarafından inanılan matematiksel Platonculuğun kendisi, matematik felsefesinde merkezi bir konumdadır.
‘Verilen herhangi iki nokta için, her iki noktanın üzerinde olduğu düz bir çizgi vardır.’
Genel olarak kabul edilen anlayışa göre, matematikçilerin çoğun-luğu Platoncudur. Bazı matematikçilerin, matematiksel teoremler ve doğrular hakkındaki görüşlerini aktarmak, Platonculuğu anlamak açısından faydalı olabilir. Mesela, matematikçi-filozof Frege’ye göre; Pisagor teoremi zaman-üstü bir doğruluğa sahiptir; matematikçiler Pisagor teoremini keşfetmeden önce bile o, bir gezegen gibi eskiden beri vardı.
Hardy klâsik makalesi, ‘Matematiksel İspat’ta matematiksel teo-remlerin doğruluk ve yanlışlığının mutlak olduğunu, bunun bizim onlar hakkındaki bilgimizden bağımsız olduğu ve matematiksel doğruluğun nesnel gerçekliğin bir parçası olduğunu belirtmiştir.
Aslında, Platonculuk günümüz matematikçileri arasında da yaygındır. Meşhur matematiksel fizikçi Penrose günümüzün önemli Platoncularındandır. Penrose şöyle der: “Mandelbrot kümesi insan zihninin bir buluşu değildir. O bir keşiftir. Aynen Everest Tepesi gibi, Mandelbrot kümesi oradadır!”.
Platonculuğun ne olduğu sorunu üzerine yoğunlaşan Brown, Platonculuğun çekirdeğinin şu maddelerden oluştuğunu belirtir:
1- Matematiksel nesneler gerçektirler ve bizden bağımsız olarak vardırlar.
2- Matematiksel nesneler, zaman ve mekanın dışındadırlar.
3- Matematiksel varlıklar, bir bakıma soyuttur bir bakıma soyut değildir. (Matematiksel varlıklar, fiziksel bir varlığa sahip olmama manasında soyutturlar, fakat sözgelimi 2 sayısının tikel olması, evrensel olmaması manasında soyut değillerdir.)
4- Matematiksel nesneleri sezebilir ve matematiksel hakikati kavrayabiliriz.
5- Matematik ampirik değil a priori’dir (tecrübeden bağımsız olarak ulaşılabilen bilgi).
6- Matematik, a priori olmasına rağmen, kesin doğru olması gerekmez.
7- Platonculuk, diğer görüşlerden daha fazla, matematiksel hakikati arama tekniklerine açıktır.
Bunca hareketlilik, matematik felsefesi tarihinin lineer bir şekilde gelişmediğini göstermekte ve bütüncül/nesnel bir özetin verilmesini imkânsızlaştırmaktadır. Nihayetinde, yapılacak her değerlendirme veya antolojik çalışma, en başta sayfa sınırlamasından dolayı bazı noktaları atlamak/kayırmak zorunda kalacaktır. Ayrıca, bu metinde, matematik felsefesinde Avrupa veya Batı felsefe tarihi paradigması dışında kalan yaklaşımlar (Çin, Hind veya islâm medeniyetlerinin katkıları gibi) üzerinde durulmadı.
“Tarihi gezimize antik Yunan ile başlamak doğaldır. Çünkü gü-nümüzde bildiğimiz haliyle matematik ve felsefenin, Punan’da doğduğu genel olarak kabul edilir.” demektedir.
Pisagorlulara göre sayılar kainatın özünde vardır; yani aslında her şey sayıdır. Onlara göre, doğadaki her şey sayılar veya sayıların başlamadığı bilinen bir vakıa olsa da, Pisagorluların birçok mistik öğretiye sahip olduğu bilinmektedir. Sözgelimi, onlara göre ‘bir’ sayısı bütün sayıların üreticisidir. İki, ilk çift sayıdır ve görüş düşünceyi temsil eder. Çift sayılar kadınları, tek sayılar ise erkekleri gösterir. Üç, gerçek anlamda ilk tek sayıdır ve düzeni temsil eder. Dört, ilk tam kare sayıdır ve adaleti gösterir. Beş, iki ve üç sayısının birleşimi olarak evliliği gösterir. Bu tür sayı mistizmlerinin daha sonraki çağlarda, gerek Hıristiyan, gerek Musevi ve gerekse de kimi Müslüman topluluklarda etkili olduğu bilinmektedir.
Öklit’in kurduğu sistem 2000 yıldan fazla mutlak doğru gibi görünmesine rağmen, ancak modern zamanlarda bu sistemde gedikler olduğu anlaşılmıştır. Sözgelimi, bir çemberin içindeki bir nokta ile çemberin dışındaki bir noktayı birleştiren bir doğruya sahip olduğumuzu kabul edelim. Öklit, bu doğrunun çember ile kesiştiğini kabul etmiştir. Günümüzde bu zannın, Öklit’in kullandığı postulat, aksiyom ve tanımlardan elde edilemeyeceği anlaşılmıştır. Sonucu elde etmek için, süreklilik adı verilen matema-tiksel bir prensibin eklenmesi gerekir. İşin ilginç tarafı, Elementler uzmanlarının çok yakın zamanlarda farkına vardığı bu mantıksal boşluk, bu sonucun Batı’da keşfedilmesinden yedi asır öncesinde matematikçi ve matematik filozofu İbni Heysem tarafın-dan 11. asırda şöyle ele alınmıştır: “Öklit, iki çemberin bir noktada kesişeceğini söylemiş, fakat birbirlerini kestiklerini ispatlamamıştır, bu özelliği göstermeksizin kabul etmiştir.”
Platon ve Aristo için, matematik demek neredeyse geometri demekti. Platon matematikten, “ilk olarak öğrenilmesi gereken, bilginin her çeşidinde faydalı” diye bahsetmektedir. Platon için geometri formlar dünyasını oluşturmaktadır. Formlar dünyasında her şey mükemmeldir; tecrübi dünyada ise her şey ancak mükemmele yakındır. Aristo, Platon’a karşı bir pozisyon alarak, tecrübi bilginin önemini vurgulamıştır. Aristo’nun matematik felsefesinde, matematiğin fiziksel dünyaya uygulanması gayet sıradandır. Yani matematikçi fiziksel nesnelerin gerçek özelliklerine yakın özelliklerle çalışır. İki ayrı gerçeklikten
Rene Descartes (1596-1650) için matematik temel bir konumdadır. Descartes, matematiğin doğruluğuna hayrandır. Yazılarında kullanmayı ihmal etmiş olsa da Elementler’in sistemini o da takdir eder. Ayrıca, Tanrı’nın matematiksel bir ispatını verir.
Leibniz (1646-1716), basit hesaplamalar sayesinde doğru akıl yürütmelerin yapılabileceği bir dil hayal etmiştir: “Herhangi bir kişi, benim cümlelerimin birinden şüphe duyarsa, benim diyeceğim söz: buyrun soruyu sayıları kullanarak hesaplayalım’ olacaktır. Böylece kalem ve mürekkep kullanarak çabucak cevaba ulaşırız”. Leibniz’in bu hayalinin, gerek Hilbert’in düşüncelerinin gelişmesinde, gerekse de matematik ve bilgisayarlardaki sembolik dilin gelişmesinde önemli payı vardır.
MATEMATİK---TÜRKÇE İLİŞKİSİ
Türkçe üzerine bir matematik modelleme ve bunun olası sosyal yansımaları üzerine bir zihin jimnastiği.
"Victor Hugo şiirlerini 40.000 kelime ile yazdı. Türkçe'yi en zengin kullananlardan Yaşar Kemal'in romanları 3.500 kelimeyi geçmez" görüşü çok yaygındır. Bu görüş haklıdır zira Türkçe'nin Fransızca'ya oranla daha az sözcük içerdiği doğrudur. İngilizce'ye, Almanca'ya, İspanyolca'ya oranla da daha az sözcük içeriyor olması gerekir. Ne var ki bu Türkçe'nin daha yetersiz bir dil olduğu anlamına gelmez! Çünkü Türkçe az sözcük ile çok şey anlatabilen bir dildir! Daha fazla sözcük içerse bunun kimseye zararı dokunmaz ancak, gereği yoktur.
Başka bir dilden Türkçe'ye çeviri yapan herkes sözlüğü açtığında, aralarında minik anlam farkları olan bir çok sözcüğün Türkçe karşılığında çoğu zaman aynı kelimeyi okur. Bu, ilk bakışta bir eksiklik gibi görünebilir, oysa öyle değildir. Çünkü yukarıda adı geçen diller kelimelerin statik olan anlamlarını öğrenmeye, Türkçe ise bu anlamları bulup çıkarmaya, yani dinamik anlamlandırmaya dayalıdır. Türkçe'de anlamları sözlükteki tanımlar değil, kelimelerin cümle içindeki konumları belirler. Tam bu noktada, Türkçe'nin, referans olmak üzere sadece gerektiği kadarı sözlüklere alınmış, sonsuz sayıda kelime içerdiği bile öne sürülebilir.
İngilizce-Türkçe sözlükte "sick", "ill" ve "patient" ın karşısında hep "hasta" yazar. Bu bağlamda İngilizce'nin üç kat daha fazla sözcük içerdiği söylenirse bu doğrudur. Ancak, aradaki farkların Türkçe'de vurgulanamadığı söylenmeye kalkılırsa bu yanlış olur: "doktor falanca beyin hastası olmak", "böbrek hastası olmak", "Internet hastası olmak", "filanca şarkının hastası olmak" arasındaki farkı Türkçe konuşan herkes bir çırpıda anlar. Bunun nasıl olabildiğini görmek zor değildir. Bir kalem alıp, alt alta:
3 + 5 =
12 + 5 =
38 + 5 =
yazmak, sonra da bunları toplamak yeterlidir. Hepsinde aynı "+ 5" yazdığı halde sonuçlar farklı çıkıyorsa, Türkçe'de de hepsinde aynı "hastası olmak" ifadesi geçtiği halde sonuçlar farklı olacaktır. Türkçe'nin az araç ile çok iş yapmasının sırrı matematikte yatar. 0 dan 9 a kadar 10 tane rakam, artı, eksi, çarpı, bölü dört işlem işareti ve bir ondalık ayracı virgül, yani topu, topu 15 simge ile sonsuz sayıda işlem yapılabilir. Türkçe de benzer özellikler gösterir. Türkçe matematiğe dayalı olmaktan da öte, neredeyse matematiğin kılık değiştirmiş halidir.
Türkçe'deki herhangi bir fiilin çekiminin ve kelimelerin nasıl çoğul yapılacağının öğrenilmiş olması, henüz varlığı bile bilinmeyen, 5 yıl sonra Türkçe'ye girecek fiillerin nasıl çekileceğinin ve 300 yıl önce unutulmuş kelimelerin çoğullarının ne olduğunun biliniyor olması demektir. Bu tıpkı birinci dereceden 2 bilinmeyenli bir denklemin nasıl çözüleceği öğrenildiğinde, sadece x = 6, y = 23 olan denklemlerin değil, aynı dereceden bütün denklemlerin nasıl çözüleceğinin öğrenilmiş olması gibidir. Oysa sözgelimi İngilizce'de "go", " went" olurken "do", "did" olur. Çoğul ekleri için de durum aynıdır: "foot", "feet" olurken "boot", "beet" değil "boots" olur. Bunun tutarlı bir iç mantığı yoktur, tek çare böyle olduklarının bellenmesidir.
Türkçe'de ise, statik kelimeleri ezberlemek yerine dinamik kuralları öğrenmek gerekir. Türkçe'de neredeyse istisna bile yoktur. Olanlar da ses uyumu gereği alma olması gereken meyve isminin elma biçimine dönmesi gibi birkaç minör istisnadır. Kurallar ise neredeyse, bu dili icat edenlerin Türk olduğuna inanmayı zorlaştıracak kadar güçlü ve kesindir.
Matematik ile olan alış-veriş yalnızca verilen örneklerle sınırlı değildir. Türkçe'nin ne tarafı ele alınsa bu ilişki ile yüz, yüze gelinir.
Türkçe'nin bu özelliğini "İnsanlar kendilerine ulaşan mesajları nasıl anlarlar? Bunun kullanılan dil ile bir ilgisi var mıdır? Bir Fransız, bir İngiliz, bir Türk aynı mesajı kendi ana dillerinde alsalar, birbirleri ile aynı şekilde mi, yoksa farklı mı algılarlar? Eğer dilin algılamayla ilgisi varsa, işin içine bir dil karışmadığında yani sözgelimi bir pantomim gösterisi izlenir veya üzerinde hiç yazı olmayan bir afişe bakılırken, dil ile ilgili bu alışkanlıklar nasıl etki ederler?" türünden sorulara yanıt ararken fark ettim. Bu özellik konuya ilgi ve sabırla yaklaşıp, bakmayı bilen herkesin görebileceği kadar açık. O nedenle, bu güne kadar kesinlikle başkaları tarafından da görülmüş olmalı. "Türkçe çok lastikli, nereye çeksen oraya gidiyor" diyenler de aslında, hayal meyal bu özelliği fark eder gibi olup, ne olduğunu tam adlandıramayanlardır.
Türkçe teknik açıdan mükemmel bir dildir. Bu mükemmelliğin nedeni matematik ile olan iç içeliktir...
BİTMEDİİİ
FİZİK-MATEMATİK İLİŞKİSİFizik-matematik iliskisi fizik icin oldukca temel bir iliskidir.Matematikten bagimsiz bir fizik dusunulemez.Ancak, fizigin formel bilimler gibi aksiyomatik olmayisi onu saf matematikten ayirir.Klasik mantigin uc ilkesi fizikte de temeldir ama fizik tam olarak aksiyomatik degildir.Gerci Kurt Godel in 1931 de yayinladigi o meshur makalesinden sonra matematigin de aksiyomatik yapisi tartisilir olmustur ama ;20 gram su ile 30 gram suyu karistirip , karisimin kutlesini olctugumuzde 60 gram buluyorsak, hatayi 20+30=50 onermesinde aramayiz.Matematik bir formalizm olmasinin otesinde yer etmistir fizikte.Cunku evrenden soyutlanan birtakim seylerin uzerinde matematiksel islemler yaptigimizda, sonucta bulunan seylerin yine evrene ait olmasi sozkonusudur.Bu da matematigin, fizikte sadece bir gosterim sekli olarak yer etmedigini gosterir.Ancak matematiksel olarak ortaya cikan her sonucla, fiziksel gerceklikler arasinda birebir tekabuliyet var midir?
alıntı...
Matematiköteki müsbet bilimlerin gelişmesini sağlar. Matematiğin öteki bilimlerle olanbaşka bir ilginç özelliği de; öteki bilimlerin de matematiğin bugünkü ileriseviyeye gelmesinde katkısı olmuştur. Örneğin: 17. yüzyıl başlarında,gökcisimleri yörünge hesapları sırasında, mevcut matematik bilgiler,astronomlar için yeterli olmamıştır. Netice itibariyle de, astronomlarınzorlamaları sonucu, matematikçiler tarafından, diferansiyel denklem kavramlarıortaya konmuştur.
Fenbilimlerinden olan; fizik, kimya ve astronominin varlığı düşünüldüğünde, bubilimlerde temel özellik, gözlem ve deneye dayalı, aynı zamanda da ölçülebilirolmasıdır. Halbuki matematik, soyut bir bilim olmakta ve temel konusu dasayılar ve çevremizde gördüğümüz şekillerdir. Matematiğin öteki bilimlerdenfarklarını ise, şu şekilde sıralamak mümkündür: Sembol ve şekiller kullanılır,uygulama alanı geniş, soyut ve kesin sonuç esasına dayanır, kesin kanunlarıvardır, kendisini devamlı yeniler, öteki bilimlerde yapılan çalışmalarıkanuniyet halinde ifade edilebilir duruma getirir, var olanı inceler, kesinsonuç verir, birbirine bağımlı olarak sürekli gelişme gösterir ve gelişmeleribirbirini tamamlar...
O geneldi AYRI AYRI İSTERİM BEN DERSEN....MATEMAİK VE MÜZİK İLİŞKİSİ
T.Pappas’ın “Yaşayan Matematik” isimli kitabının önsözünde şunlar yazılıdır: “Matematikten duyulan zevk bir şeyi ilk kez keşfetme deneyimine benzer. Çocuksu bir hayranlık ve şaşkınlık insanı sarar. Bu deneyimi bir kez yaşadıktan sonra, bu duyguyu unutamazsınız. Bu duygu, ilk kez mikroskoba bakıp da daha önce çevrenizde her zaman var olan ama, göremediğiniz şeyleri gördüğünüz anki kadar heyecan vericidir.”
Gerçekten de matematiğin estetik çekiciliğine tamamen duyarsız, aydın bir insan bulmak biraz zordur. Matematiksel güzelliği tanımlamak çok güç olabilir fakat bu güçlük her tür güzellik konusunda geçerlidir.
Sadece düşüncede var olan olayların nerelerde uygulama alanı bulabileceği hiçbir zaman önceden tahmin edilemez. Bu nedenledir ki matematikçiler, yapılan çalışmaları estetik yönden değerlendirmekte, eserlerde bir sanatçı titizliği ile güzellik ve zarafet aramaktadırlar. İşte bunun için matematik – müzik ilişkisini bir magazin popülaritesi içinde sunmaya çalışacağız.
Orta çağda eğitim programlarında müzik, matematik ve astronomi ile aynı grupta yer alırdı. Matematik ve müzik ilişkisi, günümüzde bilgisayarlar aracılığı ile devam etmektedir.
Matematiğin müzik üzerindeki etkisini müzik parçalarının yazımında görebiliriz. Bir müzik parçasında ritim ( 4:4 lük , 3:4 lük gibi ), belirli bir ölçüye göre vuruş birlik, ikilik, dörtlük, sekizlik, onaltılık, … gibi notalar bulunur. Belirli bir ritimde, değişik uzunluktaki notalar, belirli bir ölçüye uydurulur. Her ölçünün ise değişik uzunluktaki notaları kullanan belirli sayıda vuruştan oluştuğu görülür.
Pisagor ( M.Ö. 580- 500 ) ve onun düşüncesini taşıyanlar sesin, çekilen telin uzunluğuna bağlı olduğunu fark ederek, müzikte armoni ile tamsayılar arasındaki ilişkiyi kurmuşlardır. Uzunlukları tamsayı oranlarında olan gergin tellerin de armonik sesler verdiği görülmüştür. Gerçektende çekilen tellerin her armonik bileşimi tamsayıların oranı olarak gösterilebilir. Örneğin, do sesini çıkaran bir telin uzunluğunun 16/15’i si sesini verirken 6/5’i ise la sesi; 4/3’ü sol sesini; 3/2’si fa sesini; 8/5’i mi sesini; 16/9’u ise re sesini verir.
Görüldüğü gibi iki notayı bir arada duymak, iki frekansı ya da iki sayıyı ve bu iki sayı arasındaki oranı algılamaktan başka bir şey değildir. Demek ki armoni sorunu, iki sayının oranını seçme sorununa eşdeğerdir. Müzik, gizli bir aritmetik alıştırmasıdır diyen Leibniz’in haklılığı ortaya çıkıyor.
Müziği, belli kurallara uygun olarak oluşturulmuş basit birtakım seslerin birbirlerini izlemesinden oluşan cümleler topluluğu olarak tanımlayabiliriz. Bu kurallar, matematikte mantık kurallarına karşılık gelirler.
Bir çok müzik aletinin biçiminin matematiksel kavramlarla ilgili olduğunu belirtirsek şaşırmazsınız herhalde. Örneğin, aşağıdaki şekilde x >= 0 için y = 2x eğrisinin grafiği çizilmiş olup telli ya da üflemeli çalgıların biçimleri bu üstel eğrinin biçimine benzer.
Müzikal seslerin niteliğinin incelenmesi 19. yüzyılda matematikçi J.Fourier tarafından yapılmıştır. Fourier, müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini ve bunun da periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır.
Bir çok müzik aleti yapımcısı, yaptığı aletlerin periyodik ses grafiğini, bu aletler için ideal olan grafikle karşılaştırır. Yine elektronik müzik kayıtları da periyodik grafiklerle yakından ilişkilidir. Görüldüğü gibi bir müzik parçasının üretilmesinde matematikçilerle müzikçilerin birlikteliği çok önemlidir.
Matematik – müzik ilişkisinin bir başka özelliğini ortaya çıkarabilmek için matematikte ve mimaride çok sık kullanılan bir orandan söz etmek istiyorum.
Uzunluğu L olan bir [AB] doğru parçasını ele alalım ve bunun uzunlukları a ve b olan iki parçaya ayıralım. Eğer a / b = L / a yani, a / b = (a + b) / b eşitliği gerçekleniyorsa, bu bölmeye [AB] doğru parçasının altın bölümü adı verilir. a / b oranına da ALTIN ORAN denir. Şimdi x = a / b dersek, ilgili denklem x2 - x – 1 = 0 şekline getirilebilir. Bu denklemin pozitif kökü (1 + 5) / 2 = 1.618’dir.
Şimdi yeniden müziğe dönelim. İnsan kulağı için en uyumlu aralığın 8/5 frekans oranındaki major 6’lı olduğu bilinmektedir. Bu oranın yukarıda bulduğumuz altın orana çok yakın bir oran olduğunu görüyoruz.
Bana göre müziğin matematikten farklı tarafı, bazı göz kamaştırıcı tuzaklar kullanarak, insanları büyüleyebilmesidir. Halbuki matematik bunu yapmaz. Russell bunu şöyle özetliyor: “İyi bakıldığı zaman matematik sadece doğruyu değil yüksek bir güzelliği de içerir. Matematik bu güzelliklere bürünmek için insan doğasındaki zayıflıklara başvurmaz; resim ve müziğin göz kamaştırıcı tuzaklarını da kullanmaz.”
Matematiğin müziğe kıyasla önemli tarafı şudur: Müzikal bir parçanın içerdiği estetik unsurun müzik eğitimi almayan kimseler tarafından anlaşılabilmesine karşılık, bir matematiksel teoride dinleyici veya okuyucunun tüm mantık zincirlerini izlemesi zorunluluğu vardır. Hatta içerdiği estetik unsuru da sezebilmesi gerekir.
Şüphesiz matematiğin de müzik gibi kompozitörleri ve virtüözleri vardır diyor hocamız Cahit Arf. Kompozitörler, teorileri kuranlar; virtüözler de teorileri gerçek manada anlayarak ifade edebilenler ve hissettirebilenlerdir.
Yazımızı, ünlü ressam Leonardo Da Vinci’nin şu sözleri ile noktalamak istiyorum: “Matematiksel açıklamalar ve yöntemler kullanılmadan yapılan hiçbir araştırmaya bilimsel denemez.”
kaynak:PROF. DR. CİHAN ORHAN
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ ÖĞRETİM ÜYESİ
MATEMATİK-FELSEFE İLİŞKİSİ
Birçok filozof, matematiğin mutlak doğru olduğuna inanmaktadır. Öyle ki, Hempel meşhur “Matematiksel Doğruluğun Doğası Üzerine” adlı makalesinde, matematiğin önermelerinin “tanımı itibariyle doğru” olduğunu belirtmiş, matematik önermelerinin, “Bütün bekarlar evli değildir” ifadesindeki gibi kesinlik değerine sahip olduğunu belirterek, matematiğin mutlak geçerliliğini iddia etmiştir.
Bu bağlamda, gözlem ve deneye dayanmadan, sadece akıl ile mutlak bilgi sunduğu iddia edilen matematik, felsefi bir soruşturma için biçilmiş bir kaftandır artık: Matematik nedir? Matematiksel bilginin temeli nedir? Matematiksel doğru, mutlak doğru mudur? Niçin, Matematiksel hakikatın doğası nedir? Matematiksel önermeler, bizden bağımsız olarak mı doğrudur? Matematiksel ispatlar zamanla değişmezler mi? Matematikte doğa bilimlerindeki gibi devrimler var mı? Matematiksel doğrular niçin zorunludur? Matematik eğer kainatın dili ise, niçin bu böyledir? Matematik nasıl oluyor da ‘gerçek’ dünyada işe yarıyor? Bu sorular hulâsaten ‘matematik felsefesi nedir?’ sorusunu sormaktadır.
Matematik felsefesinin ne olduğu, matematik ve felsefe arasındaki ilişki, filozofların bilgi sistemlerinde matematiğin ayrıcalıklı konumunun kökenleri, matematiğin ne olduğu ve matematikçilerin çoğunun inandığı bir matematik felsefesi olarak Platonculuk bu bölümde incelenecektir.
Günümüzün önemli matematik filozoflarından biri olan Maddy, “Matematik filozofunun görevinin, matematiği reform etme değil, onu tanımlama ve açıklama olduğunu kabul ediyorum” demektedir.
Matematik felsefesi de matematik teoremlerinin sayısını doğrudan artırmaz. Körner için matematik felsefesi matematik demek değildir; matematik üzerine yansımalardır.
Matematiğin veya matematik felsefesinin neliği üzerine konuşurken, felsefedeki kural koyucu betimleyici ayrımını akılda tut-makta fayda vardır. İleride geniş olarak ele alacağımız mantıkçılık, biçimcilik ve sezgicilik türü matematik felsefesi okulları, matematiğin doğası için matematiğin kural koyucu bir tanımını vermeye çalışmaktadır. Sözgelimi, sezgiciler, ‘olmayana ergi’ ispat yöntemini matematikten dışlarlar.
Körner bu anlayışın matematik felsefesi açısından yanlış bir yaklaşım olduğunu vurgular. Ona göre, felsefenin rehberliğinde olmayan matematik tarihi körleşmiş, matematik tarihine sırtını dönen matematik felsefesi ise koflaşmıştır.
1- Matematiksel bilginin gerekçelendirilmesi, 2- Matematiksel nesnelerin karakteri ve ontolojik konumu, 3- Matematiksel Platonculuğun bu kadar makul ve başarılı bir bakış olmasının nedenlerinin açıklanması, 4- Matematikçinin pratiği ile matematiğin kendi karakterinin ilişkisi, 5- Öznel matematiksel bilgi ile kabul görmüş matematiksel bilginin ilişkisi, 6- Kişinin mevcut matematiği nasıl öğrendiği, 7- Kişinin matematiksel bilgiyi yeni bir bilgiye nasıl dönüştürdüğü, 8- Matematiksel bilginin gelişimi, 9- Dil ve matematik ile kil tabletlerden bilgisayara kadar bilgi teknolojilerinin birbiriyle ilişkisi, 10-Tarihin, matematik felsefesini nasıl aydınlattığı, 11- Matematik ile diğer bilgi alanları, değerler, kültür ve tecrübe ilişkisi, 12- Pür matematiğin bilim ve ‘gerçek’ hayatta uygulamalarının çok kullanışlı ve güçlü olmasının açıklanması, 13- Matematiksel teorilerin nasıl değerlendirildiği veya takdir topladığı, değerlendirme sürecinde herhangi bir kriterler topluluğunun olup olmadığı.
Özetlersek, matematik felsefesindeki sorunlar iki ana başlık altında toplanabilir. Birincisi, klâsik olarak adlandırabileceğimiz matematiksel epistemoloji ve ontoloji İle ilgili daha temel sorunlar. İkincisi, birincisine nazaran oldukça daha ‘genç’ sayılan, matematik ve insan etkileşimini konu edinen sorunlar ki, bu sorunlar doğal olarak sadece matematikle veya felsefeyle ilgili değil; tarih, psikoloji, sosyoloji, eğitim gibi bir beşeri bilimleri de ilgilendirir. Şimdilik, matematik felsefesi açısından böyle geniş yelpazeli bir kavramsallaştırma çabası genel kabul görmemiştir.
Bütün büyük filozofla matematik hakkında konuşmuştur.Akademik uzmanlaşmanın yaygınlaşmasından önce; Rene Descartes, Gottfried Wilhelm Leibniz, Blaise Pascal, Bernard Balzano, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, David Hilbert, Henri Poincare, Gottlob Frege, Alonzo Church, Kurt Gödel, Alfred Renyi ve Alfred Tarski gibi hem matematikçi hem de filozof olarak çalışmalarını sürdürmüşlerdir. Öyle ki, Platon, Descartes, Leibniz, Kant, Frege, Russell, Wirtgenstein, Quine, Putnam gibi filozofların düşünce sistemlerinde matematik çok önemli bir yer işgal etmiştir. Aslında bu ilgi, Brown’ın da belirttiği gibi, sadece analitik felsefe denen akımla sınırlı değildir. Husserl ve Lonergin’in çalışmaları ile Kıta Avrupa’sı ve Thomistik felsefede bu ilgi zannedildiğinden de büyüktür. Öyle ki, ciddi bir felsefi merakı olan herkesin, matematiğin doğasına yönelik bir ilgisi olması da beklenir.
Aşırı uzmanlaşmanın matematik ve felsefe arasındaki tarih boyunca süregelen bu etkileşimi sarstığı söylenebilir. Zira, bugün, aynı matematik bölümünün çatısı altında çalışan bir analizci, cebirciyi anlamakta zorluk çekmektedir. Benzeri bir durum felsefe bölümleri için de geçerlidir; sözgelimi, etik üzerine çalışan biri, bilim veya matematik felsefesi üzerine çalışan birini anlamakta zorlanmaktadır.
Matematik felsefesi, felsefenin diğer dalları veya matematiğin diğer alanları dikkate alındığında çok fazla gelişmemiştir. Burada, matematiğin, matematikçi gözünde mükemmel bir sistem olması ve gerçek dünyada ciddi bir sorunla karşılaşmadan kullanılması, ayrıca, genel olarak bir matematikçinin matematik yaparken aldığı zevkin etkili olduğu söylenebilir. Sözgelimi, Fransız matematikçisi Henri Lebesgue’ya göre, matematikçi olan birinin felsefe ile zihnini meşgul etmesine gerek yoktur.
Şimdi, bir filozof matematiğin neden çekici olduğu sorusu akla gelebilir. Shapiro, bu konuda üç önemli noktaya dikkat çeker. Birincisi, her iki disiplin de dünyayı anlamlandırma çabasının bir ürünü olarak Antik Yunan’da doğmuş veya gelişme açısından önemli mesafeler kaydetmişlerdir. İkinci sebep, birçok karmaşık felsefi sorunun matematiğe yönelindiği zaman netliğe kavuşmasıdır. Örneğin bir dil filozofu için ‘Bu terim neyi göstermektedir, bir nesneyi mi? gibi sorular için matematik dili iyi bir malzeme sağlamaktadır. Tymoczko da benzeri bir noktaya vurgu yaparak, matematik felsefesinin geleneksel olarak, felsefe kuramları için bir test imkânı sunduğunu belirtir. Üçüncü sebep epistemoloji ile ilgilidir. Matematik, bilimde hayati bir öneme sahiptir. Dünyayı anlama çabasında matematiğin temel bir görev üstlendiği açıktır. Fiziksel dünyanın anlaşılması için matematik merkezi bir konumdadır. Bir filozof için ‘Kainatın dili niçin matematikle yazılmıştır?’ türü sorular önemli olmalıdır.
Bu açıklamalardan sonra akla gelebilecek bir soru şudur: Peki, matematik nedir? Atom bombasının mimarlarından olan meşhur fizikçi Oppenheimer, bir defasında, günümüzde filozofların matematik bilmediklerini, hatta bir adım daha ileri giderek, matematikçilerin de matematik bilmediklerini söylemiştir. Oppenhemir’ın ifadesinde, matematikçilerin teknik olarak bilgilerinin eksik olduğunu mu yoksa matematikçilerin gerçekte uğraştıkları işin özüne vakıf olmadıklarını mı kastettiği açık değildir. Burada teknik yöne vurgu yapması ihtimali düşüktür: çünkü 20. yüzyıl matematiği, matematiğin atılım çağı olmuş ve kimilerince ‘altın çağ’ olarak nitelendirilmiştir. Bu yüzden Opppnheimer’in kastettiği şeyin matematiğin doğası ve mahiyetine ilişkin olduğu söylenebilir. Aslında, matematiğin ne olduğu sorusu matematik felsefesinde çetin bir sorundur. Gerçekten de, Lasserre’nin dediği gibi:
“Bir fizikçiye ‘Fizik nedir?’ veya bir tarihçiye, ‘Tarih nedir?’ diye sorduğunuzda, yanıt vermekte hiç zorlanmaz.
Çünkü gerçekten de ikisi de, ne aradığını bilmeksizin ken-kendi işini yapamaz. Ancak, bir matematikçiye, “Matematik nedir?” diye sorduğunuzda, haklı olarak yanıtı bilmediğini söyleyebilir ve bu onu matematikçi olmaktan alıkoymaz.”
Matematik nedir? Oxford sözlüğüne bakılırsa matematik, sayı, miktar ve uzay bilimidir. The American Heritage sözlüğüne bakılırsa matematik, miktar ve kümelerin arasındaki ilişkileri sayı ve sembol kullanarak araştırır. Bu tanımlarda, sayı ve miktarla ilgili kısım aritmetik, uzay ile ilgili kısım ise, geometri olarak adlandırılır. TDK Türkçe Sözlüğü’ne bakılırsa, matematik için şu karşılık bulunur: “Aritmetik, cebir, geometri gibi sayı ve ölçü temeline dayanarak niceliklerin özelliklerini inceleyen bilimlerin ortak adı, riyaziye.” Modern matematiğin birçok branşını dışarıda tutan sıraladığımız bu tanımlamalar, başlangıç için işimize yarayabilir.
Geometri ise, şekiller ve uzay ölçümleri ile ilgilenir. Geometrinin, Öklit’ten beri bilinen ayırıcı vasfı, çıkarım (tümdengelim) yoluyla ispat yapmamıza olanak sağlamasıdır.
C.S. Peirce, “Matematik, gerekli sonuçları çıkarma bilimidir” demiştir. Önceki nahif sözlük tanımlarındaki gibi, bu tanımda da birçok eksiklik vardır. Peirce’ın bu tanımından, “Ne hakkında çıkarım?” sorusu cevapsız kalmakta, matematiğin bizatihi konusu açıklanmamaktadır. Bu tanımlara değinen Davis ve Hersh, farklılıklardan yola çıkarak, her neslin farklı bir matematik tanımı geliştirdiği ve bu tanımın zamanla doğal olarak değiştiğine dikkat çekmişlerdir.
Şimdiye kadar verilen açıklamalardan ‘matematik nedir?’ sorusunun net bir cevabının verilemediği anlaşılmış olsa gerek. Zira, Bertrand Russell bir keresinde, “Matematik, ne neden söz ettiğimizi ne de söylediğimiz şeyin doğru olup olmadığını bilmediğimiz bir konudur” demiştir. lakatos da matematikten “bazen net, bazen bulanık şey” diye bahsetmiştir.
‘Matematik nedir?’ sorusunun bir cevabı olarak da okunabilecek olan ve neredeyse bütün matema-tikçiler tarafından inanılan matematiksel Platonculuğun kendisi, matematik felsefesinde merkezi bir konumdadır.
‘Verilen herhangi iki nokta için, her iki noktanın üzerinde olduğu düz bir çizgi vardır.’
Genel olarak kabul edilen anlayışa göre, matematikçilerin çoğun-luğu Platoncudur. Bazı matematikçilerin, matematiksel teoremler ve doğrular hakkındaki görüşlerini aktarmak, Platonculuğu anlamak açısından faydalı olabilir. Mesela, matematikçi-filozof Frege’ye göre; Pisagor teoremi zaman-üstü bir doğruluğa sahiptir; matematikçiler Pisagor teoremini keşfetmeden önce bile o, bir gezegen gibi eskiden beri vardı.
Hardy klâsik makalesi, ‘Matematiksel İspat’ta matematiksel teo-remlerin doğruluk ve yanlışlığının mutlak olduğunu, bunun bizim onlar hakkındaki bilgimizden bağımsız olduğu ve matematiksel doğruluğun nesnel gerçekliğin bir parçası olduğunu belirtmiştir.
Aslında, Platonculuk günümüz matematikçileri arasında da yaygındır. Meşhur matematiksel fizikçi Penrose günümüzün önemli Platoncularındandır. Penrose şöyle der: “Mandelbrot kümesi insan zihninin bir buluşu değildir. O bir keşiftir. Aynen Everest Tepesi gibi, Mandelbrot kümesi oradadır!”.
Platonculuğun ne olduğu sorunu üzerine yoğunlaşan Brown, Platonculuğun çekirdeğinin şu maddelerden oluştuğunu belirtir:
1- Matematiksel nesneler gerçektirler ve bizden bağımsız olarak vardırlar.
2- Matematiksel nesneler, zaman ve mekanın dışındadırlar.
3- Matematiksel varlıklar, bir bakıma soyuttur bir bakıma soyut değildir. (Matematiksel varlıklar, fiziksel bir varlığa sahip olmama manasında soyutturlar, fakat sözgelimi 2 sayısının tikel olması, evrensel olmaması manasında soyut değillerdir.)
4- Matematiksel nesneleri sezebilir ve matematiksel hakikati kavrayabiliriz.
5- Matematik ampirik değil a priori’dir (tecrübeden bağımsız olarak ulaşılabilen bilgi).
6- Matematik, a priori olmasına rağmen, kesin doğru olması gerekmez.
7- Platonculuk, diğer görüşlerden daha fazla, matematiksel hakikati arama tekniklerine açıktır.
Bunca hareketlilik, matematik felsefesi tarihinin lineer bir şekilde gelişmediğini göstermekte ve bütüncül/nesnel bir özetin verilmesini imkânsızlaştırmaktadır. Nihayetinde, yapılacak her değerlendirme veya antolojik çalışma, en başta sayfa sınırlamasından dolayı bazı noktaları atlamak/kayırmak zorunda kalacaktır. Ayrıca, bu metinde, matematik felsefesinde Avrupa veya Batı felsefe tarihi paradigması dışında kalan yaklaşımlar (Çin, Hind veya islâm medeniyetlerinin katkıları gibi) üzerinde durulmadı.
“Tarihi gezimize antik Yunan ile başlamak doğaldır. Çünkü gü-nümüzde bildiğimiz haliyle matematik ve felsefenin, Punan’da doğduğu genel olarak kabul edilir.” demektedir.
Pisagorlulara göre sayılar kainatın özünde vardır; yani aslında her şey sayıdır. Onlara göre, doğadaki her şey sayılar veya sayıların başlamadığı bilinen bir vakıa olsa da, Pisagorluların birçok mistik öğretiye sahip olduğu bilinmektedir. Sözgelimi, onlara göre ‘bir’ sayısı bütün sayıların üreticisidir. İki, ilk çift sayıdır ve görüş düşünceyi temsil eder. Çift sayılar kadınları, tek sayılar ise erkekleri gösterir. Üç, gerçek anlamda ilk tek sayıdır ve düzeni temsil eder. Dört, ilk tam kare sayıdır ve adaleti gösterir. Beş, iki ve üç sayısının birleşimi olarak evliliği gösterir. Bu tür sayı mistizmlerinin daha sonraki çağlarda, gerek Hıristiyan, gerek Musevi ve gerekse de kimi Müslüman topluluklarda etkili olduğu bilinmektedir.
Öklit’in kurduğu sistem 2000 yıldan fazla mutlak doğru gibi görünmesine rağmen, ancak modern zamanlarda bu sistemde gedikler olduğu anlaşılmıştır. Sözgelimi, bir çemberin içindeki bir nokta ile çemberin dışındaki bir noktayı birleştiren bir doğruya sahip olduğumuzu kabul edelim. Öklit, bu doğrunun çember ile kesiştiğini kabul etmiştir. Günümüzde bu zannın, Öklit’in kullandığı postulat, aksiyom ve tanımlardan elde edilemeyeceği anlaşılmıştır. Sonucu elde etmek için, süreklilik adı verilen matema-tiksel bir prensibin eklenmesi gerekir. İşin ilginç tarafı, Elementler uzmanlarının çok yakın zamanlarda farkına vardığı bu mantıksal boşluk, bu sonucun Batı’da keşfedilmesinden yedi asır öncesinde matematikçi ve matematik filozofu İbni Heysem tarafın-dan 11. asırda şöyle ele alınmıştır: “Öklit, iki çemberin bir noktada kesişeceğini söylemiş, fakat birbirlerini kestiklerini ispatlamamıştır, bu özelliği göstermeksizin kabul etmiştir.”
Platon ve Aristo için, matematik demek neredeyse geometri demekti. Platon matematikten, “ilk olarak öğrenilmesi gereken, bilginin her çeşidinde faydalı” diye bahsetmektedir. Platon için geometri formlar dünyasını oluşturmaktadır. Formlar dünyasında her şey mükemmeldir; tecrübi dünyada ise her şey ancak mükemmele yakındır. Aristo, Platon’a karşı bir pozisyon alarak, tecrübi bilginin önemini vurgulamıştır. Aristo’nun matematik felsefesinde, matematiğin fiziksel dünyaya uygulanması gayet sıradandır. Yani matematikçi fiziksel nesnelerin gerçek özelliklerine yakın özelliklerle çalışır. İki ayrı gerçeklikten
Rene Descartes (1596-1650) için matematik temel bir konumdadır. Descartes, matematiğin doğruluğuna hayrandır. Yazılarında kullanmayı ihmal etmiş olsa da Elementler’in sistemini o da takdir eder. Ayrıca, Tanrı’nın matematiksel bir ispatını verir.
Leibniz (1646-1716), basit hesaplamalar sayesinde doğru akıl yürütmelerin yapılabileceği bir dil hayal etmiştir: “Herhangi bir kişi, benim cümlelerimin birinden şüphe duyarsa, benim diyeceğim söz: buyrun soruyu sayıları kullanarak hesaplayalım’ olacaktır. Böylece kalem ve mürekkep kullanarak çabucak cevaba ulaşırız”. Leibniz’in bu hayalinin, gerek Hilbert’in düşüncelerinin gelişmesinde, gerekse de matematik ve bilgisayarlardaki sembolik dilin gelişmesinde önemli payı vardır.
MATEMATİK---TÜRKÇE İLİŞKİSİ
Türkçe üzerine bir matematik modelleme ve bunun olası sosyal yansımaları üzerine bir zihin jimnastiği.
"Victor Hugo şiirlerini 40.000 kelime ile yazdı. Türkçe'yi en zengin kullananlardan Yaşar Kemal'in romanları 3.500 kelimeyi geçmez" görüşü çok yaygındır. Bu görüş haklıdır zira Türkçe'nin Fransızca'ya oranla daha az sözcük içerdiği doğrudur. İngilizce'ye, Almanca'ya, İspanyolca'ya oranla da daha az sözcük içeriyor olması gerekir. Ne var ki bu Türkçe'nin daha yetersiz bir dil olduğu anlamına gelmez! Çünkü Türkçe az sözcük ile çok şey anlatabilen bir dildir! Daha fazla sözcük içerse bunun kimseye zararı dokunmaz ancak, gereği yoktur.
Başka bir dilden Türkçe'ye çeviri yapan herkes sözlüğü açtığında, aralarında minik anlam farkları olan bir çok sözcüğün Türkçe karşılığında çoğu zaman aynı kelimeyi okur. Bu, ilk bakışta bir eksiklik gibi görünebilir, oysa öyle değildir. Çünkü yukarıda adı geçen diller kelimelerin statik olan anlamlarını öğrenmeye, Türkçe ise bu anlamları bulup çıkarmaya, yani dinamik anlamlandırmaya dayalıdır. Türkçe'de anlamları sözlükteki tanımlar değil, kelimelerin cümle içindeki konumları belirler. Tam bu noktada, Türkçe'nin, referans olmak üzere sadece gerektiği kadarı sözlüklere alınmış, sonsuz sayıda kelime içerdiği bile öne sürülebilir.
İngilizce-Türkçe sözlükte "sick", "ill" ve "patient" ın karşısında hep "hasta" yazar. Bu bağlamda İngilizce'nin üç kat daha fazla sözcük içerdiği söylenirse bu doğrudur. Ancak, aradaki farkların Türkçe'de vurgulanamadığı söylenmeye kalkılırsa bu yanlış olur: "doktor falanca beyin hastası olmak", "böbrek hastası olmak", "Internet hastası olmak", "filanca şarkının hastası olmak" arasındaki farkı Türkçe konuşan herkes bir çırpıda anlar. Bunun nasıl olabildiğini görmek zor değildir. Bir kalem alıp, alt alta:
3 + 5 =
12 + 5 =
38 + 5 =
yazmak, sonra da bunları toplamak yeterlidir. Hepsinde aynı "+ 5" yazdığı halde sonuçlar farklı çıkıyorsa, Türkçe'de de hepsinde aynı "hastası olmak" ifadesi geçtiği halde sonuçlar farklı olacaktır. Türkçe'nin az araç ile çok iş yapmasının sırrı matematikte yatar. 0 dan 9 a kadar 10 tane rakam, artı, eksi, çarpı, bölü dört işlem işareti ve bir ondalık ayracı virgül, yani topu, topu 15 simge ile sonsuz sayıda işlem yapılabilir. Türkçe de benzer özellikler gösterir. Türkçe matematiğe dayalı olmaktan da öte, neredeyse matematiğin kılık değiştirmiş halidir.
Türkçe'deki herhangi bir fiilin çekiminin ve kelimelerin nasıl çoğul yapılacağının öğrenilmiş olması, henüz varlığı bile bilinmeyen, 5 yıl sonra Türkçe'ye girecek fiillerin nasıl çekileceğinin ve 300 yıl önce unutulmuş kelimelerin çoğullarının ne olduğunun biliniyor olması demektir. Bu tıpkı birinci dereceden 2 bilinmeyenli bir denklemin nasıl çözüleceği öğrenildiğinde, sadece x = 6, y = 23 olan denklemlerin değil, aynı dereceden bütün denklemlerin nasıl çözüleceğinin öğrenilmiş olması gibidir. Oysa sözgelimi İngilizce'de "go", " went" olurken "do", "did" olur. Çoğul ekleri için de durum aynıdır: "foot", "feet" olurken "boot", "beet" değil "boots" olur. Bunun tutarlı bir iç mantığı yoktur, tek çare böyle olduklarının bellenmesidir.
Türkçe'de ise, statik kelimeleri ezberlemek yerine dinamik kuralları öğrenmek gerekir. Türkçe'de neredeyse istisna bile yoktur. Olanlar da ses uyumu gereği alma olması gereken meyve isminin elma biçimine dönmesi gibi birkaç minör istisnadır. Kurallar ise neredeyse, bu dili icat edenlerin Türk olduğuna inanmayı zorlaştıracak kadar güçlü ve kesindir.
Matematik ile olan alış-veriş yalnızca verilen örneklerle sınırlı değildir. Türkçe'nin ne tarafı ele alınsa bu ilişki ile yüz, yüze gelinir.
Türkçe'nin bu özelliğini "İnsanlar kendilerine ulaşan mesajları nasıl anlarlar? Bunun kullanılan dil ile bir ilgisi var mıdır? Bir Fransız, bir İngiliz, bir Türk aynı mesajı kendi ana dillerinde alsalar, birbirleri ile aynı şekilde mi, yoksa farklı mı algılarlar? Eğer dilin algılamayla ilgisi varsa, işin içine bir dil karışmadığında yani sözgelimi bir pantomim gösterisi izlenir veya üzerinde hiç yazı olmayan bir afişe bakılırken, dil ile ilgili bu alışkanlıklar nasıl etki ederler?" türünden sorulara yanıt ararken fark ettim. Bu özellik konuya ilgi ve sabırla yaklaşıp, bakmayı bilen herkesin görebileceği kadar açık. O nedenle, bu güne kadar kesinlikle başkaları tarafından da görülmüş olmalı. "Türkçe çok lastikli, nereye çeksen oraya gidiyor" diyenler de aslında, hayal meyal bu özelliği fark eder gibi olup, ne olduğunu tam adlandıramayanlardır.
Türkçe teknik açıdan mükemmel bir dildir. Bu mükemmelliğin nedeni matematik ile olan iç içeliktir...
BİTMEDİİİFİZİK-MATEMATİK İLİŞKİSİFizik-matematik iliskisi fizik icin oldukca temel bir iliskidir.Matematikten bagimsiz bir fizik dusunulemez.Ancak, fizigin formel bilimler gibi aksiyomatik olmayisi onu saf matematikten ayirir.Klasik mantigin uc ilkesi fizikte de temeldir ama fizik tam olarak aksiyomatik degildir.Gerci Kurt Godel in 1931 de yayinladigi o meshur makalesinden sonra matematigin de aksiyomatik yapisi tartisilir olmustur ama ;20 gram su ile 30 gram suyu karistirip , karisimin kutlesini olctugumuzde 60 gram buluyorsak, hatayi 20+30=50 onermesinde aramayiz.Matematik bir formalizm olmasinin otesinde yer etmistir fizikte.Cunku evrenden soyutlanan birtakim seylerin uzerinde matematiksel islemler yaptigimizda, sonucta bulunan seylerin yine evrene ait olmasi sozkonusudur.Bu da matematigin, fizikte sadece bir gosterim sekli olarak yer etmedigini gosterir.Ancak matematiksel olarak ortaya cikan her sonucla, fiziksel gerceklikler arasinda birebir tekabuliyet var midir?
alıntı...
12-02-2008, 04:15 PM
vay be çok teşekkür ederim emeğine de eline de sağlık
12-02-2008, 04:57 PM
RİCA EDERİM... 
ama o kadar araştırmaya bunları buldum...
ama o kadar araştırmaya bunları buldum...